添号秩次检验（signed-rank test）

亦称“威尔柯克松添号等级检验”。非参数检验的一种。适合配对样本的假设检验。取自配对总体的样本\((Y_{11},Y_{21}),(Y_{21},Y_{22}),\cdots,(Y_{1n},Y_{2n})\)，先求每对数据之差\(d_j=Y_{1j}-Y_{2j}\)，然后取绝对值\(|d_j|\)，再按\(|d_j|\)大小排序，之后再转为秩次。于是全部秩次分为正号差数的秩次与负号差数的秩次两类，用\(T^{+}\)与\(T^{-}\)代表这两类秩次之和。现考虑如下假设：\(H_0:Y_1\)与\(Y_2\)的分布一致；\(H_1:H_0\)不成立。若\(H_0\)成立，\(T^{+}\)与\(T^{-}\)的差别不能大。分两种情况。（1）当\(n \le 20\)时，检验统计量是\(T^{+}\)，威尔柯克松给出了\(n \le 20\)时的\(T^{+}\)具有显著意义的临界值表。此表给出的是满足\(P_r(T^{T} > t_{\alpha}) \le \alpha)\)的临界值\(t_{\alpha}\)，即右尾值，而左尾值\(t_{1-\alpha}\)可由下式求得：\(t_{1-\alpha}=\frac{n(n+1)}{2}-t_{\alpha}\)。当\(T^{+} > T^{-}\)时，将\(T^{+}\)与右尾值对照，若\(T^{+} > t_{\alpha}\)，则拒绝\(H_0\)；当\(T^{+} < T^{-}\)时，将\(T^{+}\)与左尾值对照，若\(T^{+} < t_{1-\alpha}\)，则拒绝\(H_0\)。（2）当\(n > 20\)时，检验统计量是\(Z=\frac{T^{+}-E(T^{+})}{\sqrt{Var(T^{+})}}\)。式中\(E(T^{+})=\frac{n(n+1)}{4}\)，\(Var(T^{+})=\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}\)，\(n\)是正号差数个数与负号差数个数之和。当\(H_0\)成立时，\(Z\)渐近地服从标准正态分布。