正态总体方差假设检验（test of hypothese on variance of normal distribution）

假设检验的一种。对正态总体方差进行的统计检验。主要有以下几种情况。（1）一个总体情形下，正态总体方差用 \(\chi^2\)检验。设总体\(X \sim N(\mu_0,\sigma^2)\)，若\(\mu=\mu_0\)已知．待检验的假设是\(H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\)；\(H_1:\sigma^2 \ne \sigma_0^2\)。使用的检验统计量\(\chi^2=\frac{1}{\sigma_0^2}\sum \limits_{i=1}^{n}(X_i-\mu_0)^2\)在\(H_0\)成立时服从自由度为\(n\)的\(chi^2\)分布。由给定的显著水平\(\alpha\)，查\(\chi^2\)分布数值表得上、下侧\(\frac{\alpha}{2}\)分位点\(chi_{\alpha/2}^2\)与\(chi_{1-\alpha/2}^2\)，满足\(P \left \{ \chi^2 \le \chi_{1-\alpha/2}^2 \right \}=P \left \{\chi^2 \ge \chi_{\alpha/2}^2 \right \}=\frac{\alpha}{2}\)。由样本算出\(\chi^2\)的观测值\(\chi_0^2\)。拒绝\(H_0\)的条件是\(\chi^2 \le \chi_{1-\alpha/2}^2\)或\(\chi^2 \ge \chi_{\alpha/2}^2\)。若总体均值\(\mu\)未知，所使用的检验统计量不同，其余部分与上面讨论相同。这时采用的统计量是\(\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}=\frac{1}{\sigma_0^2}\cdot \sum \limits_{j=1}^{n}(X_j-\bar{X})^2\)。在\(H_0\)成立时它服从自由度为\(n-1\)的\(\chi^2\)分布。（2）两个总体情形下，正态总体方差用F检验。设两个相互独立的总体\(X_1\)与\(X_2\)，\(X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)。所有参数都未知，待检验的假设是\(H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\)；\(H_1:\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2\)。从\(X_1\)抽取样本\(X_{11},X_{12},\cdots,X_{1n_1}\)；从\(X_2\)抽取样本\(X_{21},X_{22},\cdots,X_{2n_2}\)。检验\(H_0\)的统计量是\(F=\frac{S_1^2}{S_2^2}=\frac{\frac{1}{n_1-1}\sum \limits_{j=1}^{n_1}(X_{1j}-\bar{X_1})^2}{\frac{1}{n_2-1}\sum \limits_{j=1}^{n_2}(X_{2j}-\bar{X_2})^2}\)。在\(H_0\)成立时，F服从自由度为（\(n_1-1,n_2-1\)）的\(F\)分布。由给定的\(\alpha\)查\(F\)分布数值表得上、下侧\(\alpha/2\)分位点\(F_{\alpha/2}\)和\(F_{1-\alpha/2}\)，它们满足\(P \left \{F \ge F_{\alpha/2} \right \}=P \left \{ F < F_{1-\alpha/2} \right \} = \frac{\alpha}{2}\)。若\(F\)的观测值\(F \ge F_{\alpha/2}\)或\(F \le F_{1-\alpha/2}\)，则拒绝\(H_0\)；否则，接受\(H_0\)。（3）\(k\)（\(k>2\)）个总体情形下，用巴特利特检验（方差齐性检验的一种）。设有\(k\)个相互独立且服从正态分布的总体\(X_1,X_2,\cdots,X_k\)。现要检验它们的方差是否相等：\(H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2=\cdots=\sigma_k^2\)，\(H1:H_0\)不真。记\(X_{ij}(i=1,2,\cdots,k; j=1,2,\cdots,n_i\)\)为\(k\)个独立样本。样本方差\(S_i^2=\frac{1}{n_i-1}\sum \limits_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-\bar{X}_{i\cdot})^2\)。检验\(H_0\)的统计量是\(\chi^2=2.3026\left [ \log_{10}S^2\sum \limits_{i=1}^{k}(n_i-1)-\sum \limits_{i=1}^{k}(n_i-1)\log_{10}S_i^2 \right ] \cdot \frac{1}{C}\)。在\(H_0\)成立时，它趋近于自由度为\(k-1\)的\(\chi^2\)分布。当\(\chi^2 \ge \chi_{\alpha 1(k-1)}^2\)时，拒绝\(H_0\)。其中\(\chi_{\alpha i (k-1)}^2\)是\(\chi^2\)分布的右侧\(\alpha\)分位点：\(P \left \{\chi^2 > \chi_{\alpha i(k-1)}^2 \right \} =\alpha\)。式中C与\(S^2\)含义如下：\(C=1+\frac{1}{3(k-1)} \left [ \sum \limits_{i=1}^{k}\frac{1}{n_i-1}-\frac{1}{\sum \limits_{i=1}^{k}(n_1-1)} \right ]\)，\(S^2=\sum \limits_{i=1}^{k} \sum \limits_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-\bar{X_i})/\sum \limits_{i=1}^{k}(n_i-1)\)。