T²统计量（T² statistic）

服从\(T^2\)分布的统计量。霍德林1931年给出。设\(Y\)和\(W\)是独立的，且\(Y \sim N_p(\mu,\Sigma)\)，\(nW \sim W_p(n,\Sigma)\)，则\(T^2={Y}'W^{-1}Y\)所服从的分布，称“非中心T²分布”,T²称“T²统计量”。常简记为\(T^2 \sim T^2(p,n,\delta),(0 \le T^2 < +\infty)\)，式中非中心参数\(\delta={\mu}'\Sigma^{-1}\mu\)。在\(\mu=0\)时，\(\delta=0\)，此时\(T^2\)为中心\(T^2\)分布。有人将\(T^2\)统计量称为“Hotelling T²统计量”。威忌斯曼和博克研究了T²统计量与F统计量之间的关系，取得如下成果：设\(T^2={Y}′W^{-1}Y\)，此处\(Y \sim N_p(\mu,\Sigma)\)，\(nW \sim W_p(n,\Sigma)\)，且\(Y\)与\(W\)彼此独立，则有\(\frac{n-p+1}{p} \cdot \frac{T^2}{n} \sim F(p,n-p+1,\delta)\)，即T²可转化为F分布。此处F的自由度是\(p\)与\(n-p+1\)，非中心参数\(\delta={\mu}'\Sigma^{-1}\mu\)。在多元分析中，杰森和荷伟1968年编制了T²统计量的上侧百分位点的数值表以供查阅，也可转为F分布，查阅F统计量的数值表。T分布在多维正态分布的均值检验中有着直接应用。如为检验\(H_0:\mu=\mu_0\)；\(H_1:\mu \ne \mu_0\)。从\(p\)维正态总体Y中随机抽取样本\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\)，即有\(Y_i \sim IN_p(\mu,\Sigma)\)（“IN”表示彼此独立的正态变量），于是\(\bar{Y} \sim N_p(\mu, \Sigma/N)\)，\((N-1)S \sim W_p(N-1, \Sigma)\)，\(\bar{Y}\)与\(S\)也相互独立。构造检验统计量\(T^2=N{(\bar{Y}-\mu_0)}'S^{-1}(\bar{Y}-\mu_0)\)，在\(H_0\)成立时，\(T^2\)服从\(T^2(p, N-1)\)分布，或\(\frac{N-p}{p}\cdot \frac{T^2}{N-1}\)服从\(F(p, N-p)\)分布（\(\bar{Y}\)是样本均值向量，\(S\)是样本方差-协方差矩阵）。