矩法估计（moment estimation）

参数估计的一种。英国统计学家皮尔逊在1894年提出。用样本（原点）矩来直接估计总体相应的理论矩的方法。确切地讲，若\(X\)是一个随机变量，（\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)）是来自\(X\)的随机样本，样本的\(r\)阶原点矩为\(A_r=\frac{1}{n}\sum_{n=1}^{n}X_i^r,(r=1,2,\cdots,k)\)；样本的\(r\)阶中心矩为\(B_r=\frac{1}{n}\sum_{n=1}^{n}(X_i-\bar{X})^r,(r=1,2,\cdots,k)\)，若总体的\(r\)阶原点矩记为\(m_r\)，\(r\)阶中心矩记为\(C_r\)，则可以样本的矩去估计总体相应的矩，即\(\hat{m_r}=A_r,\hat{C_r}=B_r,(r=1,2,\cdots,k)\)。按照待估参数个数来组成一个方程组，便可求出未知参数的点估计。如，（\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)）是来自正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的随机样本，若总体的二阶矩存在，可得\(\left\{\begin{matrix}\hat{m_1}=A_1=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\\\hat{m_2}=A_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\end{matrix}\right. \)，于是\(\hat{\mu}=\hat{m_1}=A_1=\bar{X}\)，由于\(D(X)=E(X^2)-(EX)^2\)，所以\(\sigma^2+m_1^2=m_2\)。令\(\hat{m_1}=A_1\)，\(\hat{m_2}=A_2\)，可解出：\(\hat{\sigma^2}=B_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2=S_n^2\)。于是，由矩法估计得到的\(\mu\)（是总体\(X\)的一阶原点矩）的矩法估计量\(\hat{\mu}=\bar{X}\) （即样本的一阶原点矩）。而\(\sigma^2\)（总体\(X\)的二阶中心矩）的矩法估计量\(\hat{\sigma}^2=S_n^2\)（\(S_n^2\)是样本的二阶中心矩，又叫样本方差）。参见“样本矩”。