数学期望（expectation）

亦称“理论平均数”。概率论术语。随机变量重要特征数。用于说明随机变量取值的平均水平或集中趋势。若随机变量\(X\)的分布函数是\(F(x)\)，则\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xdF(x)\)为\(X\)的数学期望。这里要求积分绝对收敛，否则\(X\)的数学期望不存在。若\(X\)是离散型随机变量，其分布列为\(\begin{pmatrix}x_1 \ x_2 \ \cdots \ x_n\\p_1 \ p_2 \ \cdots \ p_n\end{pmatrix} \)，且级数\(\sum_{i} x_i p_i\)绝对收敛，则将此级数和称为\(X\)的数学期望，即\(E(X)=\sum_{i} x_i p_i\)；若级数不是绝对收敛，即\(\sum_{i} |x_i|p_i\)发散时，则\(X\)的数学期望不存在。如，若\(X\)服从两点分布，其分布列为\(\begin{pmatrix}0 \ 1\\q \ p\end{pmatrix} \)，\((q=1-p)\)，则\(E(X)=0q+1p=p\)。若\(X\)服从二项分布\(b(k; n, p)\)，则\(E(X)=np\)。若\(X\)是连续型随机变量，其密度函数是\(f(x)\)，且积分\(\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)绝对收敛，则\(X\)的数学期望存在，即\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)，则\(X\)的数学期望为\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx=\mu\)。