决策函数（decision function）

统计决策论术语。若关注的总体\(X\)具有概率分布族\(\left \{ F(x,\theta),\theta \in \Theta  \right \} ,X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)是来自\(X\)的样本。根据样本\(X\)而对总体分布作出的任一个决定，称为一个“决策”或“行为”，记为\(a\)。在特定条件下，可采取的全体决策组成的集合称为决策空间或行动空间，记为\(\mathscr{A}\)。所谓一个统计推断实际就是依据一个样本\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)在决策空间中找一个\(a\)与之对应。一个决策\(a\)是样本的函数，即\(a=d(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)，\(a=d(x_1,\cdots,x_n)\)是一个统计量，则被称为决策函数。如总体\(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(\mu\)与\(\sigma^2\)都未知。现要检验\(H_0:\mu = \mu_0\)（\(\mu_0\)已知）。为此抽取样本\(X=(x_1,\cdots,x_n)\)。构造统计量\(T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S_n}\sqrt{n-1}\)，这时的检验法则由决策论语言表述为：决策空间\(\mathscr{A}=\left \{ 0,1 \right \}\)，其中“1”表示拒绝\(H_0\)行为，“0”表示接受\(H_0\)的行为。决策函数为\(d(x_1,\cdots,x_n)\triangleq \left\{\begin{matrix}1，当(x_1,\cdots,x_n)\in R_1 \\0，当(x_1,\cdots,x_n)\in R_2=R_n-R_1\end{matrix}\right.\)，式中\(R_1=\left \{(x_1,\cdots,x_n)||T(x_1,\cdots,x_n)| \ge t_{\alpha/s} \right \},R_2=\left \{(x_1,\cdots,x_n)||T(x_1,\cdots,x_n)| < t_{\alpha/s} \right \}\)。（\(R_n\)是\(n\)维欧氏空间）。统计决策论是运用统计方法来认识和处理决策问题中的不确定性，并作出合理决策的方法。它是经典统计学的重要补充。若不确定性（由随机因素造成的）的对象是\(\theta\)，欲对\(\theta\)作出推断。经典统计只能是直接利用样本信息（资料来自实验或调查），而基本不考虑\(\theta\)对的每一种“决策”可能造成的“损失”。而统计决策论则是兼顾损失与样本信息的一种方法。