符号检验（sign test）

非参数检验的一种。用于检验两个相关变量\(Y_1\)与\(Y_2\)（均为等距变量）在数值上“差异是否为零”。它利用差数的符号个数构造统计量，故称。对\(n\)个样品观测\(Y_1\)与\(Y_2\)，得到样本资料：\((Y_{11},Y_{21}),(Y_{12},Y_{22}),\cdots,(Y_{1n},Y_{2n})\)。考虑差数的符号\(Sign(Y_1-Y_2)=\left\{\begin{matrix}+，当Y_1>Y_2 \\0，当Y_1=Y_2 \\-，当Y_1<Y_2\end{matrix}\right.\)。要检验的假设是\(H_0:P_r(Y_1>Y_2)=P_r(Y_1<Y_2)\)；\(H_1:P_r(Y_1>Y_2)\ne P_r(Y_1<Y_2)\)。若\(Y_1\)与\(Y_2\)在数值大小上无显著差异，则样本中正号的差数个数与负号的差数个数应当很接近。记\(n_{+}\)是样本中正号差数个数，\(n_{-}\)是负号差数个数（注意：\(n_{+}+n_{-}\le n\)）。我们再记\(r=\min\left \{ n_{+},n_{-} \right \}\)，则当\(r\)不太小时，有利于\(H_0\)，当\(r\)太小，则有利于\(H_1\)。可查《符号检验的\(r\)临界值表》，查出临界值\(r_\alpha\)。若\(r>r_\alpha\)，则接受\(H_0\)，否则，拒绝\(H_0\)。一般样本容量\(n\le 25\)时，可查表进行符号检验。该表实际是由二项分布计算得来，但当\(n>25\)时，二项分布接近正态分布，故可用下面方法作检验。记\(T\)为正号差数个数。由统计理论得知，\(T\)的极限分布是平均数为\(n/2\)，方差是\(n/4\)的正态分布，于是选用的检验统计量为\(Z=\frac{T-\frac{n}{2}}{\sqrt{n}/2}=\frac{2T-n}{\sqrt{n}}\)，在\(H_0\)成立时它趋近于标准正态分布，但为使\(Z\)更具连续性（因为\(T\)是离散变量），常采用修正的\(Z: Z=\frac{(2T\pm1)-n}{\sqrt{n}}\)，当\(n/2\)时，上式中括号内取正号；当\(T>n/2\)时，则取负号。