偏相关系数（partial correlation coefficient）

相关系数的一种。度量两个变量在消除了第三个变量（或其他多个变量）影响后的相关程度的数量指标。如考虑\(X_1\)和\(X_2\)在消除了\(X_3\)的影响后的偏相关系数（记为\(r_{12\cdot 3}\)），它等于\(X_1\)对\(X_3\)的线性回归的残差\(X_{1^*}\)与\(X_2\)对\(X_3\)的线性回归的残差\(X_{2^*}\)之间的相关系数。可通过\(X_1\)、\(X_2\)、\(X_3\)之间的相关系数计算\(r_{12\cdot 3}=\frac{r_{12}-r_{13}r_{23}}{\sqrt{1-r_{13}^2}\sqrt{1-r_{23}^2}}\)，其中\(r_{ij}\)为\(X_i\) 与\(X_j\)的相关系数\(r_{12\cdot 34}=\frac{r_{12\cdot 3}-r_{14\cdot 3}r_{24\cdot 3}}{\sqrt{1-r_{14 \cdot 3}^2}\sqrt{1-r_{24\cdot 3}^2}}\)。类似地，\(X_1\)和\(X_2\)在消除了\(X_3\)和\(X_4\)的影响后的偏相关系数为。对于更多变量的情形，可类似地定义其他偏相关系数。偏相关系数也可利用相关矩阵的逆矩阵直接计算。考虑\(p\)个相关变量\(X_1,X_2,\cdots,X_p\)，相关矩阵\(R\)的逆为\(R^{-1}=(c_ij)_{p \times p}\)，要计算\(X_1\)，\(X_2\)在消除了其他变量的影响后的偏相关系数，公式为\(r_{12\cdot (3 \cdots p)}=-\frac{c_{12}}{\sqrt{c_{11} \cdot c_{22}}}\)。同理，\(X_i\)、\(X_j\)在消除了其他变量的影响后的偏相关系数为\(- \frac{c_{ij}}{\sqrt{c_{ii} \cdot c_{jj}}}\)。