区间估计（interval estimation）

参数估计的一种形式。20世纪30年代统计学家耐曼在概率的频率解释基础上创立区间估计的置信区间理论。利用样本信息构造未知总体参数的一个范围或区间的参数估计。设\(\theta\)是总体\(X\)的未知参数，构造两个统计量\(\hat{\theta}_1\)与\(\hat{\theta}_2\)，对任何样本值有\(\hat{\theta}_1 < \hat{\theta}_2\)，\(\alpha(0 < \alpha < 1)\)是预先选定的实数，若对任何样本值有等式 \(P\left \{ \hat{\theta}_1 \le \theta \le \hat{\theta}_2\right \} =1-\alpha\)成立，则称区间\((\hat{\theta}_1 , \hat{\theta}_2)\)是\(\theta\)的\((1-\alpha)\)置信区间或\((1-\alpha)\)估计区间。\(\hat{\theta}_1\)与\(\hat{\theta}_2\)分别是置信下限与置信上限。\((1-\alpha)\)称为置信区间\((\hat{\theta}_1 , \hat{\theta}_2)\)的置信度或置信系数。当\(\hat{\theta}_1\)为\(-\infty\)，得到估计区间\((-\infty,\hat{\theta}_2)\)，称为上置信区间，即给出\(\theta\)的上界；当\(\hat{\theta}_2\)为\(+\infty\)时，得到估计区间\((\hat{\theta}_1,+\infty)\)，称为下置信区间，即给出了\(\theta\)的下界。称估计区间\((\hat{\theta}_1 , \hat{\theta}_2)\)为双侧置信区间，称\((-\infty,\hat{\theta}_2)\)与\((\hat{\theta}_1,+\infty)\)为单侧置信区间。估计区间\((\hat{\theta}_1 , \hat{\theta}_2)\)是一个随机区间，对于不同的样本值，得到可能不同的具体区间，而未知总体参数\(\theta\)（只要存在）则是一个定值，所以可能某些具体区间覆盖了\(\theta\)，即估计正确，而另一些具体区间没有覆盖\(\theta\)，即估计错误。\((1-\alpha)\)则告诉人们估计的可靠程度有多大。但估计区间只有可靠度\((1-\alpha)\)还不够，还要有一定的精度，才有应用价值。如，估计区间的长度便可说明估计精度。可靠度与精度是互相矛盾的要求。耐曼的办法是，先按问题需要指定\(\alpha(0 < \alpha < 1)\)，即保证一定可靠度\((1-\alpha)\)，然后在此约束下，使某种意义下的精度达到最优。