分布函数（distribution function）

亦称“累积分布函数”。概率论术语。设\(X\)为随机变量，则\(F(x)=P(X\le x)(-\infty < 0 < +\infty)\)为\(X\)的分布函数。有离散型分布函数和连续型分布函数两种。分布函数\(F(x)\)的函数值等于随机变量\(X\)取值在\((-\infty ,x]\)上的随机事件的概率。分布函数\(F(x)\)具有如下性质：（1）\(\lim_{x \to -\infty } F(x)=0\)，或写成\(F(-\infty)=0\) ；（2）\(\lim_{x \to +\infty } F(x)=1\)，或写成\(F(+\infty)=1\)；（3）右连续性：对任意\(-\infty<a<+\infty\)，有\(\lim_{x \to +a^{+} } F(x)=F(a)\)；（4）单调性：若\(x_1<x_2\)，则\(F(x_1)\le F(x_2)\)，即\(F(x)\)是个非递减函数（注：按我们这里定义的\(F(x)\)）；（5）若（\(a<x\le b\)）是个随机事件，则 \(F(a<x\le b)=F(b)-F(a)\)。分布函数是个分析性质良好的函数，便于数学处理，使许多概率问题转化为函数的运算。设离散型随机变量所有可能取值为\(x_i(i=1,2,\cdots)\)，其慨率\(P(x_i)=P_i\)，\(P_i\)满足\(P_i \ge 0\)和\(\sum_{i=1}^{\infty}P_i =1\)，由上面的分布即得分布函数\(F(x)=\sum_{x_i<n}P_i\)。连续型随机变量的分布函数为\(F(x)=\int_{-\infty}^{x} \varphi (x)dx\)，其中\(\varphi (x)\)是概率密度函数。参见“概率密度函数”。