特征函数（characteristic function）

概率论术语。具有以下优良特性：（1）特征函数和分布函数一一对应，即分布函数唯一确定特征函数，特征函数也唯一确定分布函数；（2）与分布函数相比，可在分析中降低运算级别；（3）作为有界一致连续（复值）函数，更方便地进行分析和运算。若\(\xi\)是一维随机变量，\(F_{\xi}(x)\)是它的分布函数，则称函数\(\varphi_{\xi}(t)=E(e^{it\xi})=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{itx}dF_{\xi}(x)(-\infty < t < +\infty ,i=\sqrt{-1})\)为随机变量\(\xi\)的特征函数（也称分布函数\(F_{\xi}(x)\)的特征函数）。若连续型随机变量\(\xi\)的密度函数为\(f_{\xi}(x)\)，则\(\xi\)的特征函数是\(\varphi_{\xi}(t)=E(e^{it\xi})=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{itx}f_{\xi}(x)dx\)。若\(\xi=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)\)是一个\(n\)维随机变量，分布函数为\(F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)，则\(\xi\)的特征函数定义为\(\varphi_{\xi}(t_1,t_2,\cdots,t_n)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \cdots \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{i(t_1x_1,t_2x_2+\cdots,t_nx_n)}dF(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)。