二项式定理（binomial theorem）

在\(n\)次相互独立的贝努里试验中，每次试验的可能结果只有\(A\)与\(\bar{A}\)，且\(P(A) = p(0 < p <1)\)，对于任给的正整数\(k(0 \le  k \le n)\)，事件\(A\)出现\(k\)次的概率记为\(b(k; n, p)\)，则\(b(k; n, p) = \binom{n}{k} p^k\cdot q^{n-k},(k = 0,1,2,\cdots,n; q = 1-p)\)就是二项式定理。因为\(b(k; n, p)\)正好等于二项展开式\((p+q)^n\)中的第\(k+1\)项，且\((p+q)^n = 1^n = 1\)，故有\(\sum_{k=0}^{n}b(k; n, p) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^k\cdot q^{n-k} =1\)。